Redactietip — Alain Badiou en het avontuur van de uitzondering
🖋 Samuel Vriezen


Alain Badiou publiceerde vorig jaar met het derde deel van zijn L’être et l’événement-serie de conclusie van dertig jaar denken: een hoogst abstract filosofisch systeem dat de wiskundige verzamelingenleer combineert met eeuwenoude wijsgerige problemen en militante emancipatoire politiek. Samuel Vriezen neemt dit duizelingwekkende Werk onder de loep, en laat zien waarom zowel complexe wiskunde als hardcore metafysica nodig zijn om de wereld te veranderen.


* Abonnees lezen meer. Neem ook een abonnement! *


Logiques des mondes: L’être et l’événement, 2 (Seuil 2006), 638 blz.
Alain Badiou, L’être et l’événement (Seuil 1988), 560 blz.

Essay uit dNBg 2019#3

Een groot filosofisch systeem voltooien, wie doet dat tegenwoordig nog? Antwoord: Alain Badiou, en wel afgelopen september met de publicatie van L’immanence des vérités, het slotdeel van zijn hoofdwerk. Deel 1, L’être et l’événement, verscheen in 1988, in 2006 volgde Logiques des mondes, en nu is het een trilogie. Meer dan dertig jaar denken. Nadrukkelijk plaatst hij zich zo in de millennia-omspannende traditie van filosofen die in een omvangrijk oeuvre een alomvattende filosofie gestalte gaven. Bij Badiou staan daarbij zeer grote woorden centraal. Waarheid. Subject. Gebeurtenis. Wereld. Het Absolute.

In de Franse filosofie was dit soort filosofie onmodieus geworden. De laatste grote generatie, waartoe onder meer Michel Foucault en Jacques Derrida behoorden, had zich eerder toegelegd op subversieve kritiek of speelse ongrijpbaarheid dan op het bouwen van systemen. Zelfs de meest klassieke gedachtenarchitect onder hen, Gilles Deleuze, streefde in zijn denken en schrijven eerder naar een permanente beweging van concepten dan naar een finaal statement. Daarna was nog een generatie van ‘Nouveaux Philosophes’ opgestaan, maar die deden liever aan publiek debat over actuele dilemma’s à la ‘wanneer is het humanitair noodzakelijk om een land te bombarderen,’ dan aan doorwrochte fundamentele ontologie.

Het ware leven, of waarom de jeugd gecorrumpeerd moet worden Alain Badiou (vert. Piet Joostens) (Polis 2019), 167 blz.
L’immanence des vérités: L’être et l’événement, 3 (Fayard 2018), 724 blz.

Niet dat Badiou vies is van polemische interventies. Hij is beroemd om zijn pittige radicaal-linkse stellingnames. Anders dan veel generatiegenoten is hij trouw gebleven aan de maoïstische inspiratie van zijn jongere jaren, en bij elke verdediging van een humanitaire interventie, nationale identiteit of superieure westerse waarde staat hij vooraan om deze te duiden als rechtvaardiging van uitbuiting en onderdrukking in dienst van het kapitalisme.

Hij voldoet daarmee aan een behoefte, ontstaan nadat met de val van de Berlijnse muur het einde van de geschiedenis was afgekondigd. De liberale democratie had gewoon gewonnen, dus kon alom een grote depolitisering plaatsvinden, konden socialistische partijen hun ideologische veren afleggen, en werd Margaret Thatchers ‘there is no alternative’ praktisch wet. Wie opgroeide in de jaren negentig kon geloven dat er stilzwijgend een verbod was ontstaan op radicaal denken. Onder het triomferende kapitalisme heerst nog maar één intellectuele imperatief, die Badiou graag verwoordt als: ‘Leef zonder idee!’

Wat hij hiertegenover stelt is het ware leven, zoals de titel luidt van een pamflet (onlangs verschenen in een vlotte vertaling van Piet Joostens), waarin Badiou als oude man de zonen en de dochters van de burgers toespreekt met de belofte hen te ‘corrumperen’. Op de manier van Socrates, welteverstaan. Dat wil zeggen: hen te verleiden tegen de heersende orde in te denken, te leven met een Idee. En een Idee, stelt Badiou, is voor iedereen bereikbaar, in een liefde die alles verandert, een artistieke schok, een wetenschappelijke doorbraak, of een emancipatoire politiek. Die laatste is bij Badiou altijd de Idee van het Communisme. Want al zijn alle twintigste-eeuwse staatscommunismen mislukt, toch mag deze Idee van een wereld zonder uitbuiting niet worden opgegeven, maar moet ze juist telkens opnieuw worden doordacht.

En de jeugd van het begin van deze eeuw liet zich corrumperen: tien jaar geleden was Badiou schijnbaar overal en werd hij gretig gelezen door jonge radicale intellectuelen. Zijn stellingname klonk fris en nodig in een wereld van olieoorlogen en kredietcrisis. Ikzelf voelde me daarnaast ook aangetrokken tot de manier waarop hij enkele opwindende stukken moderne wiskunde centraal stelt in zijn filosofie. Hoe hij die verbond met politieke radicaliteit vond ik prikkelend, maar ook ongemakkelijk. Ruim tien jaar las ik hem gretig, maar basale vragen bleven. Want zo’n verbinding is beloftevol, maar tegen welke prijs leg je hem? Kunnen filosofische abstractie, wiskundige constructie en de levende politieke urgentie elkaar recht doen? Zeker is dat zijn denken niet overal reikt. Zo heeft hij weinig te melden over feminisme, van queeractivisme bij hem geen spoor, en bijna al zijn voorbeelden komen uit een witte, mannelijke canon. Tegenover ecologisch denken lijkt hij bijna vijandig te staan, omdat de mens bij hem pas waarlijk mens wordt door deelname aan een oneindige Idee, terwijl planten en dieren fundamenteel eindig zouden zijn.

Dubbelzinnige wiskunde
Maar welke heilzame corruptie biedt deze oude man, wiens levenswerk pas net is voltooid, ons dan wel? Kort gezegd, hij verdedigt het bestaan van waarheden. Een waarheid is daarbij niet op te vatten als een correcte uitspraak (‘het regent’), maar als een mogelijkheid die verwezenlijkt moet worden. Een mogelijkheid die zo sterk is, dat je bereid zou zijn je leven in dienst ervan te stellen. En dit terwijl niets ter wereld haar bestaan kan garanderen: waarheden zijn uitzonderingen op de bestaande situatie. Ze doen zich voor binnen vier domeinen: kunst, wetenschap, politiek en liefde.

Juist omdat waarheden niet al gegeven zijn, moeten ze worden bewerkstelligd. Dit is het werk van het Subject. Bij Badiou is dat niet zomaar elke instantie met bewustzijn, of die op Twitter ergens een mening over heeft, maar een die zich voor een waarheid hard maakt. Dit kan een persoon zijn (zoals een kunstenaar die een nieuw soort kunst maakt), maar ook de persoon overstijgen (een liefdespaar, een revolutionaire beweging).

Subject en waarheid: een groot deel van de twintigste-eeuwse filosofie had zich juist ingespannen om deze termen te ontmaskeren als valse transcendenties, slechts schijnbaar neutrale termen, zo niet verkapte machtsgrepen. Want een waarheidsaanspraak kan nog zo absoluut lijken, een subjectieve structuur nog zo algemeen, eigenlijk werden ze door iemands agenda opgelegd. Deze kritische reflex is gangbaar geworden. De grote innovatie van Badiou is dan ook om waarheid zelf meervoudig te maken. Er is nooit ‘de waarheid’ (ultiem, als van God), altijd ‘een waarheid’, en die is verbonden aan een specifieke historische situatie, als uitzondering op het algemene denken in die situatie.

Bovendien komt een waarheid nooit uit de hemel vallen. Zij moet binnen de wereld – ‘immanent’, zoals de filosofen zeggen – worden opgebouwd uit wat voorhanden is. Maar de bestaande wereld reikt het subject de middelen om een waarheid te vormen niet op een dienblaadje aan. Een ‘subjectieve procedure’ begint dan ook altijd met iets schijnbaar onmogelijks, wat Badiou een ‘gebeurtenis’ noemt (événement – helaas in het Nederlands vaak vertaald als ‘evenement’, maar ik wil dat partywoord niet). Gebeurtenissen vinden in de wereld plaats, maar vallen buiten haar logica, en tonen zo dat verandering mogelijk is. Zoals in een wederzijdse liefdesverklaring, in de ontdekking dat licht tegelijk golf en deeltje is, of doordat het volk van Parijs in 1871 de macht grijpt en een experiment in radicale democratie aangaat. Zulke gebeurtenissen zijn altijd wankel: reactionaire krachten kunnen altijd weigeren te aanvaarden dat er iets is gebeurd (wat bijvoorbeeld de weg vrijmaakt om die Communards uit te moorden als ongedierte). Gebeurtenissen wel aannemen, en het traject van hun weerbarstige logica volgen, is dan ook een gok. Maar alleen in die gok ontstaat het Subject, dat zich vervolgens, traag, onzeker, op de tast, maar gedisciplineerd en met moed, aan het ontwikkelen van een waarheid zet.

Wel verbindt Badiou waarheid met wiskunde en het eeuwige. Een waarheid doet zich historisch voor, maar vestigt een structuur die vervolgens voor alle tijden beschikbaar blijft, altijd opnieuw geactiveerd kan worden. Dertigduizend jaar oude rotstekeningen blijven tot deze dag een artistieke inspiratie, de slavenopstand van Spartacus was een voorbeeld voor zowel de Haïtiaanse Revolutie als de groep rond Rosa Luxemburg.

Complexer is de dubbelzinnige verhouding tussen waarheid en wiskunde, die het hart vormt van Badious filosofie. ‘Wiskunde is ontologie,’ luidt een van zijn belangrijkste slogans. Daarmee bedoelt hij dat de structuur van alles wat is goed wordt beschreven door de verzamelingenleer, een grondslagentheorie voor de wiskunde. Alle bekende wiskundige objecten – ruimtes, grafen, functies, getallen, symmetrieën etcetera – laten zich, met enige handigheid, nauwkeurig omschrijven in de vorm van gestructureerde verzamelingen. Die bevatten zelf ook weer verzamelingen, van verzamelingen, van… tot je bij de lege verzameling uitkomt. Die leegte vormt het fundament van het ‘verzamelingentheoretisch universum’, dat ruim genoeg blijkt om heel de wiskunde in te bedrijven.

Badious uitgangspunt is dat ook historische situaties een verzamelingenstructuur volgen. Grofweg: je zou een staat kunnen beschouwen als een verzameling van zijn burgers, instituties, grondgebied en wetten, en elk van die elementen is ook weer als een gestructureerde verzameling op te vatten. Alleen bestaat een historische situatie niet enkel als abstracte structuur. De uiteindelijke fundering is dan ook niet leeg, maar gebouwd op historisch vlees en bloed, al wordt dit fundament gewoonlijk veronachtzaamd. Anders gezegd, waar de wiskunde abstracte structuren opbouwt op de basis van helemaal niets, bouwt een historische situatie structuren op basis van ‘iets’ – dat echter niet zelf een plek krijgt te midden van de structuren, maar er onbenoemd, quasi-afwezig, onder blijft spoken. Daarin lijkt het op de leegte van de wiskundige lege verzameling. Het verschil is dat dit ‘iets’ wel bestaat, en in een gebeurtenis naar voren kan treden. Een voorbeeld in marxistische stijl: in het kapitalisme is alles gebaseerd op kapitaal en privébezit, en die staan nooit ter discussie. Daaronder, de niet vertegenwoordigde factor waar alles van afhangt: arbeid. Dit gaat goed totdat deze de gedaante aanneemt van een revolutionair proletariaat, en de straat op gaat. Dan kan er sprake zijn van een gebeurtenis.

De wiskunde kan voor Badiou wel de structuur van de wereld beschrijven, maar niet de gebeurtenissen. Daarom krijgen die in zijn filosofie een wiskundig verboden vorm: zij vormen hun eigen fundament, waar verzamelingen enkel door de leegte gefundeerd worden. Een gebeurtenis die doorbreekt toont dan, uit het niets, een nieuw fundament – voor een mogelijke wereld met een nieuwe waarheid, ooit te verwerkelijken. De wiskunde beschrijft dan hoogstens de beperkingen van de reeds bestaande wereld.

Toch heeft de moderne verzamelingenleer voor Badiou meer betekenis. Ze is namelijk niet alleen een wiskundige grondwet, ze is ook de wetenschap van hoe je van het ene wiskundige universum naar het andere kunt overgaan, en die overgang is waar het Badiou om te doen is. Zo is zijn interpretatie van wiskunde dubbelzinnig: zij stelt de wet en bestudeert de doorbraak. Hoe kan dit?

Beslissen over het universum
Een spook waart door de wiskunde, het spook van het continuüm. Het waart er al vijfentwintighonderd jaar. Dit is het probleem: er is een spanning tussen tellen en meten. Wie telt gebruikt duidelijk gescheiden getallen en komt daarmee in de getaltheorie terecht, wie meet komt in de meetkunde met haar continue lijnen, en de wiskunde heeft nooit helemaal kunnen vastleggen hoe die twee zich tot elkaar verhouden. De pythagoreeërs hadden hier al moeilijkheden mee. Hun getaltheoretische mystiek schreef voor dat alles in het heelal moest bestaan uit verhoudingen (ratio’s) tussen gehele getallen (ofwel: breuken). Maar de geometrische Stelling van Pythagoras zelf leverde al snel een driehoek op met twee zijden van lengte 1 en één zijde van lengte √2, en het bleek dat je dat laatste getal helemaal niet als de verhouding van twee gehele getallen kunt schrijven. Het is wat wiskundigen nu een ‘irrationaal’ getal noemen – een niet-geheel getal, dat je ook niet als breuk kunt schrijven. Een getal, dus, waarvoor de pythagorische mystiek eigenlijk geen plaats had. Vermoedelijk was dit ooit een zeer schokkend inzicht, een soort oervorm van Badious gebeurtenis.

Ruim twee millennia later, in 1874, bestudeerde Georg Cantor opnieuw de verhouding tussen getallen en continuüm. Nu ging het om hoeveelheden. Hoeveel gehele getallen zijn er? Hoeveel rationale getallen? En hoeveel punten liggen er in totaal op een lijn, als we ervan uitgaan dat die lijn de ‘reële rechte’ (ook wel: continuüm) is, waarop niet alleen alle gehele getallen en breuken liggen maar ook alle irrationale die daar nog tussen zitten? Steeds oneindig, zou je zeggen. Maar een oneindige hoeveelheid is geen precies begrip waarmee je zomaar, op intuïtie, kunt rekenen. Cantor ontdekte echter een nieuw concept van ‘hoeveelheid’, dat hem wel in staat stelde die vraag precies te beantwoorden. En tot zijn stomme verbazing bewees hij dat er precies evenveel breuken zijn als gehele getallen (wat gek is: je zou meer breuken verwachten, want tussen nul en een zitten er al oneindig veel) maar ook, en dat is niet minder vreemd, dat het aantal reële getallen wel veel groter is dan het aantal gehele getallen of breuken. Letterlijk ontelbaar veel meer.

Anders gezegd: er bleek voorbij het ‘aftelbaar oneindige’, de oneindigheid van de gehele getallen, een grotere oneindigheid te bestaan, een ‘overaftelbare’, die van het continuüm. In Cantors tijd was dit een schokkend inzicht, net zo schokkend als het irrationale getal voor de pythagoreeërs, en veel van zijn collega’s weigerden lange tijd zijn resultaten te aanvaarden. En het hield hier niet op. Elke oneindige verzameling S genereert een volgende oneindige verzameling. Dat zit zo: als je alle mogelijke combinaties van elementen van S samen neemt, vormen deze op hun beurt de zogeheten ‘machtsverzameling’ P(S), en naar bleek is die strikt groter. Je kunt die operatie ook herhalen: P(P(S)) is dan ‘alle mogelijke collecties van deelverzamelingen van S’, en is weer groter dan P(S). En zo ontdekte Cantor een onophoudelijke keten van steeds grotere oneindigheden: S, P(S), P(P(S)), P(P(P(S)))… Een allergrootste verzameling kan daarom niet bestaan. (Voor de gelovige Cantor betekende dit dat God buiten bereik blijft van het rekenen. Badiou zal juist concluderen dat er geen almachtige God kan bestaan.)

Cantor wist wel een relatie te leggen tussen de gehele getallen (‘N’) en het continuüm (‘R’): de omvang van R bleek gelijk aan die van P(N). Maar dit zei weinig, enkel dat R groter is dan N – niet hoeveel groter. Hij veronderstelde dat R de eerstvolgende oneindigheid na N zou vormen. Dit vermoeden staat bekend als de Continuüm Hypothese (CH). Tevergeefs probeerde Cantor deze te bewijzen.

Veel later zou blijken dat CH niet bewijsbaar is – maar: ook niet weerlegbaar. Je kunt CH aannemen, of juist verwerpen, en dit leidt tot verschillende wiskundige universa, elk met eigen vervolgvragen en mogelijkheden. De pythagoreeërs hadden al met een dergelijke fundamentele keuze te maken gehad toen zij op het irrationale getal stuitten. Ofwel in de harmonie van hun getallenmystieke universum blijven, en het meten buiten het tellen laten, of juist een rijkere, minder beheersbare wereld met irrationale getallen betreden. Cantor dwong in zijn tijd een vergelijkbare crisis af, met de ‘gebeurtenis’ van het overaftelbare getal: zijn achterdochtige collega’s konden deze nieuwe denkwijze weigeren, maar waren ze eenmaal bereid haar te aanvaarden, dan opende zich de weg naar een wiskunde met een veel rijker getalsbegrip. Met het werk van Paul Cohen werd duidelijk dat zulke keuzes de kern van het getalsbegrip zelf uitmaken. Zo dwingt de eeuwenoude grondspanning tussen tellen en meten wiskundigen steeds om beslissingen te nemen over het universum. Hoe je met dergelijke aporieën omgaat staat volgens Badiou model voor het werk van het Subject.

Een generiek pad naar waarheid
L’être et l’événement behandelt drie mogelijke wiskundige strategieën hiervoor: het ‘construeerbare universum’ van de logicus Kurt Gödel, de ‘forcing-methode’ van Paul Cohen, en de leer van de nog veel grotere oneindigheden genaamd de ‘grote kardinaalgetallen’. Het eerste deel uit 1988 analyseert vooral de eerste twee, L’immanence des vérités concentreert zich op de derde. Steeds zal Badiou de wiskunde daarbij lezen en interpreteren als een soort ontologische blauwdruk voor reëel historisch handelen.

Gödels construeerbare universum (‘L’, in de volksmond) maakt de wildgroei van oneindigheden hanteerbaar, door aan de operatie die deze groei veroorzaakt (bovengenoemde P) beperkingen op te leggen. In L bestaat de machtsverzameling P(S) niet uit alle deelverzamelingen van S, maar uitsluitend uit die waarvan je een expliciete definitie kunt geven. Deze extra eis levert geen problemen op. L blijkt zich verder precies hetzelfde te gedragen als het algemene universum (‘V’), en daarom mag je, als je wilt, ook aannemen dat dit universum zelf construeerbaar is (‘V=L’). Ofwel: elke verzameling die bestaat, hoe ingewikkeld ook, kan expliciet gedefinieerd worden.

Dit heeft een voordeel en een nadeel. Het voordeel is dat er onder die aanname wel een bewijs bestaat voor de omstreden Continuüm Hypothese. Het nadeel is dat L de meest schamele versie van het universum is, met alleen plek voor het zegbare en controleerbare. Voor Badiou staat het construeerbare universum model voor het academisme. Kennis, definities en expertise zijn hier oppermachtig en maken weliswaar het continuüm hanteerbaar, maar voor het experiment, het wezenlijk andere, het nog-niet-zegbare, is geen ruimte.

Zo zagen veel wiskundigen het ook ongeveer, waaronder Gödel zelf, die L vooral invoerde als een minimaal geval om te laten zien dat CH minstens mogelijk is. Groot was dan ook het enthousiasme van de oude Gödel toen in 1963 de jonge wiskundige Paul Cohen een samenhangend universum schetste waarin CH niet waar is. Een universum, dus, dat ontglipt aan de macht van definities en experts. Om daar te geraken is dan ook een sluwe, indirecte techniek nodig. Cohen noemde deze techniek ‘forcing’.

Forcing baant als het ware binnen een universum een pad naar een ander universum. De technische constructie is lastig informeel te omschrijven, maar ik doe toch een poging. Eerst stel je een stelsel van zogeheten ‘condities’ op. Zo heten ze omdat ze de specifieke doorbraak waartoe ze moeten leiden, bijvoorbeeld de weerlegging van de CH, conditioneren. Elke conditie is een wiskundig object van een of ander type dat in het universum bestaat – het zou van alles kunnen zijn, bijvoorbeeld een functie of een reeks getallen. Bij elkaar vormen ze een samenhangend stelsel, dat ik me vaak voorstel als een dicht, eindeloos voortwoekerend netwerk van vertakkende paden, die van conditie naar conditie voeren. Vanaf elke vertakking in het netwerk zijn andere beschrijvingen van het bestaande universum mogelijk. Zo genereren de condities samen een nieuwe taal, de ‘forcing language’, die alles in het universum nieuwe namen geeft.

Elk op zich brengen die condities niet veel nieuws. Maar in een forcing knip en plak je uit al die condities één zogeheten ‘generiek filter’ bijeen. In mijn beeldspraak is dit een mysterieus oneindig pad, dat met geen van de afzonderlijke paden samenvalt maar wel alle mogelijke algemene eigenschappen van alle paden in zich bergt. Dit generieke pad leidt dan tot een uitgebreider universum, waar de taal van de condities óók over blijkt te kunnen praten. En in dat universum bestaan, als bij toverslag, geheel nieuwe wetten en structuren. Bijvoorbeeld een verzameling groter dan N maar kleiner dan R – die in dit universum CH onwaar maakt.

Een pad naar een ander universum dat wordt samengesteld door alles een nieuwe naam te geven. Mijn beeldspraak is wiskundig misschien vaag maar hopelijk is de filosofische resonantie helder. Badiou leest forcing als het werk van het militante Subject, en ontleent belangrijke inzichten aan Cohens techniek. Militant werk is poëtisch werk: nieuwe vergezichten ontstaan als gevolg van een nieuwe manier van spreken. En cruciaal voor Badiou is het generieke: het Subject moet alle algemene eigenschappen doorkruisen, en met geen enkele specifieke eigenschap samenvallen. Anders gezegd, het doorbreekt elke identiteit. Het militante Subject is universeel.

Het andere belangrijke punt is dat forcing geen formule geeft voor het generieke filter. Een dergelijke formule zou namelijk binnen het universum al bestaan als recept, maar het generieke filter kan nu juist niet gedefinieerd worden, kan zich niet verlaten op de bestaande taal. Het stijgt autonoom uit de condities op. Zo, zegt Badiou, moet ook een nieuwe historische waarheid altijd intuïtief, op de tast, ‘punt voor punt’ worden verwezenlijkt, zonder formeel criterium als houvast.

Oneindigheid en identiteit
Overtuigend laat L’être et l’événement aan de hand van forcing zien hoe de mogelijkheid van radicale verandering in elke schijnbaar afgesloten situatie aanwezig is. Wel blijft de status van de gebruikte wiskunde moeilijk te duiden. Soms lijkt die een grondschema, soms een voorbeeld, soms een metafoor. De voornaamste reden hiervan is, denk ik, dat de oneindigheid waar Badiou het over heeft nooit tastbaar in ons leven bestaat, maar eerder potentieel, een indicatie van de mogelijkheden die een gedachte opent. Deze kwalitatieve oneindigheid laat Badiou overvloeien in de kwantitatieve, wetenschappelijke oneindigheid van de wiskunde, en deze gok structureert heel zijn denken.

Dit is filosofisch controversieel. In 1991 hadden Gilles Deleuze en Félix Guattari de ruim tien jaar jongere Badiou in Qu’est-ce que la philosophie? al verweten deze twee ordes op één hoop te gooien, terwijl volgens hen het echte werk zich juist afspeelt in de wisselwerking ertussen. Badious ontologie zou daarom te statisch zijn. Ik denk dat je deel 3, L’immanence des vérités, kunt lezen als een antwoord op Deleuze en Guattari. Hier ontwikkelt Badiou het concept, of liever de concepten, van de oneindigheid verder, om te laten zien dat het wiskundige begrip ervan wel degelijk kwaliteiten uitdrukt, zelfs verfijndere dan in de filosofische traditie. Badious verdediging van het oneindige is tegelijk een aanklacht tegen alle structuren die de mens eindig, klein, houden. Badiou noemt man en paard: zijn vijanden zijn de identiteit, de herhaling, het concept van het Kwaad, de noodzaak, God, en de dood.

Een geliefde sport van verzamelingentheoretici is om steeds nieuwe vormen van oneindigheid in te voeren die alle voorgaande overtreffen. Deze ‘grote kardinaalgetallen’ zweven ver boven de huis-, tuin- en keuken-oneindigheid waar de meeste wiskundigen mee werken – als ze al bestaan. Want net zoals bij CH gaat het steeds om beslissingen. Bestaat er een ‘ontoegankelijk’ getal? Een ‘compact’ getal? De mysterieuze verzameling 0# en de bijbehorende klasse van ‘ononderscheidbare’ getallen? Niets eist hun bestaan, niets lijkt ze te verbieden. Wel kun je de gevolgen van hun eventuele bestaan bestuderen. Als ze bestaan, overklassen ze lagere oneindigheden, en maken die zogezegd relatief eindig. Dit is voor Badiou van belang, omdat in zijn opvatting religieuze onderdrukking (door een onbereikbare God), politieke onderdrukking (door een alomtegenwoordig staatsapparaat), en economische onderdrukking (door het wereldomspannende kapitaal) ook oneindige ordes zijn. Alleen als er ook nog hogere ordes bestaan, kan een ontsnapping aan deze vormen van onderdrukking denkbaar worden.

In dit derde boek verricht Badious Subject ‘werken’ (œuvres). Dit zijn eindige daden binnen een eindige wereld, die wel een ‘index’ bevatten, een verwijzing naar een hogere oneindigheid: een waarheid. Badiou werkt deze theorie van de index nauwelijks formeel-mathematisch uit; in dit boek dient de wiskunde naar mijn idee meer als metafoor dan als blauwdruk. Dit neemt niet weg dat Badiou’s schetsen soms verhelderend werken. De gedachte van een index bijvoorbeeld komt overeen met mijn ervaring bij indrukwekkende kunstwerken. Een gedicht van Emily Dickinson of een orkeststuk van Iannis Xenakis roepen iets op dat vele malen groter is dan de paar regeltjes die er staan of het brullen en krijsen van het orkest. Oneindig, zo je wilt. Ze laten de dagelijkse wereld van geld, macht en opinies er in elk geval erg smal uitzien. Maar ook sommige meer formele concepten die Badiou behandelt bieden mooie inzichten. Ik geef een eigen voorbeeld, geïnspireerd op Badious benadering maar zeker niet uit zijn canon: het κ-volledige vrije ultrafilter en de intersectionele politiek van de partij Bij1 van Sylvana Simons.

Vaak wordt deze partij verweten identiteitspolitiek te bedrijven, maar ik zie dat niet zo. Voor identiteitspolitiek in Nederland moet je bij het inmiddels enorme koor van rechts-nationalistische opiniemakers en politici zijn. Die zien alles in termen van het volkseigene, de cultuur, de natiestaat en zijn grenzen – figuren van de eindigheid. Daarom vallen rechts-nationalistische denkers intellectueel ook altijd tegen. Ze hebben misschien stijl of charisma als ze debatteren, maar een Idee hebben zij niet: oneindigheid past niet in het hok van de culturele identiteit.

Wat maakt Bij1, dat zich baseert op intersectionele analyses van identiteit, dan anders? Dat is de verbinding met de ‘radicale gelijkwaardigheid’ die de partij nastreeft. Een interpretatie in de lijn van Badiou kan laten zien waarom dit denken een oneindig denken moet zijn. Toen Kimberlé Crenshaw in 1989 het begrip ‘intersectionaliteit’ introduceerde dacht ze niet aan wiskunde, maar aan een verkeerskruispunt. Toch biedt verzamelingentheorie een natuurlijke omgeving om dit concept te begrijpen, als de doorsnede (‘intersection’) van verzamelingen. Er zijn zwarten, en er zijn vrouwen, en beide verzamelingen ondervinden vormen van discriminatie; ‘zwarte vrouwen’ vormen dan de doorsnede van die twee, en zijn onderhevig aan een wisselwerking tussen vormen van discriminatie. Een veelgehoord bezwaar hiertegen is dat zulke analyse de mensheid alleen maar versplintert, want bij elke doorsnijding van identiteitsposities wordt de verzameling kleiner, tot ieder mens een eigen intersectioneel eilandje bewoont. Bij1 zou dan hoogstens kunnen opkomen voor allianties van enkele groepen en intersecties, omdat er niets zou zijn dat alle posities gemeen hebben, geen basis voor solidariteit. Maar dat is eindig denken. Oneindig denken werkt anders. Badiou wijst op de mogelijkheid van wat hij ‘volledige’ verzamelingen noemt (zijn terminologie wijkt hier bij hoge uitzondering af van de term die wiskundigen zelf gebruiken, ‘meetbaar’). Deze staan een ‘volledig vrij ultrafilter’ toe. Dat is een netwerk van deelverzamelingen (identiteitsposities) die allemaal even groot (gelijkwaardig) zijn – en waartussen je bovendien oneindig vaak doorsnedes kunt nemen, die desondanks altijd even groot blijven! Je komt dus ook nooit bij geïsoleerde ‘singletons’ uit. Zwarte vrouwen en witte mannen zijn niet hetzelfde, toch zijn zij vanuit het oogpunt van gelijkwaardigheid volledig met elkaar verbonden.

Klinkt deze operatie vreemd? Dat is ze. Eindige verzamelingen staan zoiets zeker niet toe. In oneindige zou het echter kunnen. Dan heb je wel een extreem hoge oneindigheid nodig, waarvan het bestaan niet gegarandeerd is. Maar als ze bestaat, dan kan intersectionele analyse leiden tot radicale gelijkwaardigheid. Hoe radicaal die moet zijn, zelfs op ontologisch niveau, blijkt uit Badious interpretatie van een belangrijk theorema van Dana Scott. Dit laat zien dat binnen het construeerbare universum het bestaan van zo’n volledige verzameling tot interne tegenspraken moet leiden. Volledigheid heeft dus een groter universum nodig. Ofwel, de politieke uitgangspunten van Bij1 blijven onmogelijk als je je denken beperkt tot expertise, definities en demografische hokjes. Dan krijg je de identiteitspolitiek van de staat, de marketing, of extreemrechts. Radicale gelijkwaardigheid daarentegen is een Idee, dat uitsluitend kan bestaan als politiek avontuur.

Een wiskunde van de vertaling
L’immanence des vérités is vooral een lofzang op het oneindige, wil je het helpen herkennen in de werken van een waarheid, en de valse oneindigheid van onderdrukkende systemen leren doorzien. Toch is ook Badious systeem geketend, namelijk aan de uitgangspunten van de verzamelingenleer. Twee eigenschappen met name zijn bepalend voor zijn denken. Ten eerste maakt de verzamelingenleer gebruik van de klassieke logica. Een uitspraak kan waar zijn of niet waar, maar niet allebei tegelijk, en een derde optie is er niet. Klassieke logica is krachtig, zo staat ze onder meer redeneringen uit het ongerijmde toe. Maar er zijn andere logica’s: de meer genuanceerde intuïtionistische (waarin ‘niet niet waar’ en ‘waar’ niet hetzelfde zijn) en de grillige paraconsistente (waarin uitspraken soms tegelijk wel en niet waar zijn). De klassieke logica past bij de polemische stijl die Badiou graag hanteert, een die harde beslissingen afdwingt, maar is niet overal geschikt voor – wat Badiou trouwens zelf uitlegt in een mooie, helaas korte beschouwing over de drie logica’s in L’immanence des vérités. Zelfs de strengste militant weet dat het soms tactisch noodzakelijk is om een stellingname te versoepelen of definitieve beslissingen uit te stellen. Maar op het niveau van ontologie staat Badiou zulke voorzichtigheid niet toe.

Ten tweede is verzamelingenleer hiërarchisch, en gefundeerd, met de lege verzameling als bodem. Dit impliceert dat voor Badiou elke historische situatie ook zo’n ordelijke grondstructuur heeft. Voor zover situaties zich goed laten beschrijven in helder opgebouwde concepten is dat waar, maar de aanname dat dit altijd kan is erg sterk. Ze sluit situaties die wezenlijk rommelig zijn uit. Daarmee staat Badiou op grote afstand van filosofen die denken in termen van netwerken, hybriditeit, relaties of wisselwerkingen – een stijl die de laatste jaren sterk in opmars is, te vinden in het werk van Donna Haraway, Isabelle Stengers, of Bruno Latour. Allemaal denkers die zich onder meer richten op ecologie, niet toevallig een zwak punt bij Badiou. Ecologisch denken noemt hij alleen in het voorbijgaan, altijd onder noemers als natuurbehoud of kringloopeconomie, die hij als wezenlijk behoudend ziet. Binnen zijn filosofie is dit ook logisch. Voor Badiou is het doordenken van een situatie altijd het aanbrengen van orde: als een situatie geen orde bezit, bestaat er ook geen kans om de situatie te veranderen. Maar een ecologisch denken dat niet wil terugvallen in conservatisme of functionalisme moet de eigen, rommelige, dynamiek van ecologie centraal stellen in plaats van haar een helder gestructureerde essentie toe te kennen. Badious hameren op consistentie stelt hem niet in staat een dergelijk denken te aanvaarden.

Nu bestaat er in de wiskunde een alternatief voor de klassieke, gefundeerde verzamelingenleer. In de jaren veertig kwam de zogenaamde categorieëntheorie op. Je zou dit een wiskundige theorie van vertalingen kunnen noemen. Ze stelde wiskundigen in staat om inzichten uit het ene vakgebied (bijvoorbeeld algebra) te ‘vertalen’ naar het andere (zoals topologie), en maakte daarmee tal van doorbraken mogelijk. Anders dan de verzamelingenleer gaat de categorieëntheorie niet uit van de structuur van wiskundige objecten, maar enkel van de relaties ertussen, en het zijn deze relaties die bij vertaling tussen vakgebieden intact moeten blijven. Zoals je ook in een vertaling van een gedicht alle woorden vervangt, maar de wisselwerking van de woorden probeert te behouden. Zodoende kan categorieëntheorie het zonder fundering stellen – ook een vertaalproces heeft niet zelf één taal.

Belangrijke delen van de wiskunde zijn goed te beschrijven als categorieën. Er zijn zelfs speciale categorieën (de zogenaamde ‘topoi’) die als alternatieven kunnen dienen voor het verzamelingenuniversum, omdat alle constructies met verzamelingen ook in een topos mogelijk zijn. Bovendien is de natuurlijke logica in topoi intuïtionistisch in plaats van klassiek, zoals bij verzamelingen. Daarmee voert categorieëntheorie een andere basisstijl in de wiskunde: flexibel, relationeel, niet-gefundeerd, genuanceerd.

Kort na de publicatie van L’être et l’événement in 1988 kreeg Badiou van zijn oudere collega Jean-Toussaint Desanti dan ook de kritiek dat zijn klassieke ontologie te star was, en dat hij naar de categorieën moest kijken. Dit was een fundamentele uitdaging. Immers, als wiskunde ontologie is, en er bestaat binnen de wiskunde ook een grondslagentheorie met een totaal andere denkstijl dan de beoogde, dan komt het hele project in gevaar. Een mindere denker had zich er met een bon mot vanaf gemaakt, maar Badiou ging aan het werk. Dit leidde in 2006 tot het tweede deel van de trilogie, Logiques des mondes. Het is het rijkste deel, dat meer dan de andere delen verlevendigd wordt door voorbeelden en analyses uit de concrete geschiedenis. Het is tegelijk het moeilijkste deel om structureel te doorgronden.

Badious oplossing voor de uitdaging van Desanti is elegant. Ontologie, de leer van wat ‘is’, wordt nog steeds in termen van verzamelingen beschreven, maar de manier waarop wat ‘is’ zich binnen een wereld manifesteert, wordt beschreven door topoi. Het boek schetst daarmee een fenomenologie naast een ontologie. Elke wereld kent een eigen logica van verschijning, die Badiou de ‘Transcendentaal’ van een wereld noemt. Deze Transcendentaal bepaalt hoe in een wereld dingen zich tot elkaar verhouden, hoe je ze kunt onderscheiden, en daarmee ook de plekken binnen een wereld waar beslissende momenten (‘punten’, zegt Badiou) mogelijk zijn. Sommige werelden blijken dan een zodanig genuanceerde Transcendentaal te hebben, dat een allesbeslissend moment er niet eens mogelijk is. Badiou noemt zulke werelden zonder punten ‘futloos’ (atone); denk bijvoorbeeld aan een verzadigd liberaal kapitalisme, dat je al jouw radicale systeemkritiek doodleuk terugverkoopt, pak ’m beet als Che-T-Shirt. Bij zulke werelden is het nodig om van Transcendentaal te veranderen. Pas dan kan het Subject, daartoe aangezet door een gebeurtenis, zijn werk doen, en dat wordt in dit boek omschreven als het vormen van een Lichaam van de waarheid: een corpus aan kunstwerken, een uitgewerkte wetenschappelijke theorie, een politieke organisatie, de duur van een liefde.

Nuance, strijd en passie
Met zijn imposante parade van werelden en logica’s is Logiques des mondes inderdaad Badious meest genuanceerde boek, maar echt veranderen doet hij niet: nog altijd prevaleert de verzamelingenontologie over de toposwerelden. Badiou beschrijft zijn topoi in verzamelingtheoretische termen – wat kan, maar het omgekeerde is net zo goed mogelijk. De wiskunde zelf geeft geen uitsluitsel over welke methode de juiste is.

Badious filosofie hangt af van een fundamentele beslissing om uit te gaan van een wiskunde van fundamentele beslissingen. ‘Fundering’ is zo zelf de ononderhandelbare categorie, de kracht en de limiet, van Badious denken. De wiskundige praktijk zelf werkt tegenwoordig meestal pragmatischer en soepeler dan de platonist Badiou. Zijn keuze is hem inmiddels dan ook op kritiek komen te staan: hij zou de reikwijdte van de topoi onvoldoende recht doen. Deze discussie is technisch nogal complex, mede omdat de hoogst abstracte categorieëntheorie zelf pas volledig tot zijn recht komt binnen de context van zeer geavanceerde wiskunde. Wel geloof ik dat hier metafysisch gezien spannende mogelijkheden voor een verdere ontwikkeling van dit denken zitten: in een wetenschappelijk geïnformeerd filosofisch onderzoek naar de wisselwerking tussen fundering en vertaling, klassieke en andere logica. Dit zou mooi zijn: filosofie als een scherp gereedschap om de funderingsprocessen zelf te beschrijven, het onmogelijke pad van inconsistentie naar consistentie en terug, het ontstaan en veranderen van werelden. Liefst vindt zo’n filosofie uiteindelijk ook een minder technische, voor een groter publiek toegankelijke vorm, zoals ook Badiou zijn hoofdwerken steeds combineert met kortere parafrasen voor de leek, zoals bijvoorbeeld in Manifestes pour la philosophie.

Maar ook in zijn huidige vorm stelt Badious filosofie ons voor scherpe, grote vragen. De grootste keuze die zijn filosofie, en de kritiek erop, opwerpt is die tussen klassiek en niet-klassiek denken. Badiou kiest uiteindelijk voor het eerste, en verliest zo een zekere subtiliteit. Wat hij ermee mogelijk maakt is echter niet onbelangrijk. Meer ecologische denkers als Latour, Stengers en Haraway beschikken over grotere nuance in hun beschrijving van de wereld, maar allemaal neigen zij daardoor naar een politiek van de diplomatie, de verbinding, de uitwisseling. Terwijl soms polemische stellingname en strijd harder nodig zijn, ook voor de ecologie. Laten we wel wezen, als je bij iemand als Jair Bolsonaro aankomt met een ‘Parlement der dingen’ (Latour) of ‘Interspecies becomings’ (Haraway), grijpt hij naar zijn kettingzaag.

Dan blijft Badious bereidheid om radicaal militantisme een filosofische basis te geven onverminderd fris en nodig – zelfs al blijft zijn Idee van het Communisme abstract. Maar eigenlijk denk ik dat als we hem over honderd jaar nog lezen, het zal zijn om zijn gedurfde en gepassioneerde filosofische lezing van de wiskunde van zijn tijd.