🆕 Constructies, patronen en priemwoestijnen
🖋 Jeanine Daems

David S. Richeson, Tales of Impossibility: The 2000-Year Quest to Solve the Mathematical Problems of Antiquity (Princeton University Press 2019), 456 blz.


Hoe ziet de wiskunde van nu er uit, en hoe is de wiskunde zo gegroeid? Of het nu gaat om de passer en het latje van de oude Grieken, of de geometrie van de vierdimensionale 3-sfeer, telkens valt Jeanine Daems het belang van kruisbestuiving op. Tussen verschillende takken van de wiskunde zelf, en tussen wiskunde en andere disciplines.


* Abonnees lezen meer. Neem ook een abonnement! *


In tegenstelling tot de natuurwetenschappen heeft de wiskunde de reputatie sinds de klassieke oudheid niet essentieel veranderd te zijn. Stellingen die Euclides ca. 300 v.Chr. in De elementen opschreef, zijn nog steeds waar. Zijn bewijs van de stelling van Pythagoras is voor huidige leerlingen prima te begrijpen. Maar dat is niet het hele verhaal; wiskundige concepten zijn in de loop van de tijd wel degelijk veranderd. Euclides gebruikte bijvoorbeeld geen getallen om lengtes en oppervlaktes aan te duiden, hij vergeleek alleen lengtes en oppervlaktes met elkaar. De stelling van Pythagoras is bij Euclides dan ook geen bewering over getallen die de zijdelengtes van een rechthoekige driehoek voorstellen, maar over twee vierkanten die samen even groot zijn als een ander vierkant.

Constructieproblemen

David S. Richeson, Tales of Impossibility: The 2000-Year Quest to Solve the Mathematical Problems of Antiquity (Princeton University Press 2019), 456 blz.
David S. Richeson, Tales of Impossibility: The 2000-Year Quest to Solve the Mathematical Problems of Antiquity (Princeton University Press 2019), 456 blz.

In zijn fraaie Tales of Impossibility beschrijft David S. Richeson de geschiedenis van enkele beroemde wiskundeproblemen uit de Griekse oudheid. Richeson doceert wiskunde aan Dickinson College in Pennsylvania en schrijft toegankelijk over zijn vak op zijn blog Division by Zero.

Drie beroemde constructieproblemen uit de Griekse oudheid staan centraal in Richesons boek: de verdubbeling van de kubus, de driedeling van een willekeurige hoek en de kwadratuur van de cirkel. Richeson voegt ook nog het construeren van regelmatige veelhoeken aan dit lijstje toe, een probleem dat inderdaad in veel opzichten met de drie andere te maken heeft.

De verdubbeling van de kubus komt neer op de volgende opdracht: stel je hebt een kubus, maak dan een kubus met dubbele inhoud. In eerste instantie denk je wellicht: simpel, ik maak de zijden twee keer zo lang. Maar al snel zul je zien dat de resulterende kubus dan een acht keer zo grote inhoud heeft. De zijden van de kubus moeten niet met 2, maar met ∛2 vermenigvuldigd worden.

De driedeling van een willekeurige hoek komt neer op: als een hoek bekend is, construeer een hoek die precies een derde van de gegeven hoek is. Een hoek halveren is tamelijk eenvoudig, dat kunnen kinderen in de brugklas al als ze de bissectrice leren construeren. Driedelen van hoeken lukt echter niet zomaar. Bij sommige bijzondere hoeken kan het wel. Een hoek van 30 graden bijvoorbeeld kun je eenvoudig construeren, dus een hoek van 90 graden is dan ook in drieën te delen. Bij de meeste andere hoeken blijkt het daarentegen lastig.

De kwadratuur van de cirkel is het probleem om, gegeven een cirkel, een vierkant te construeren met dezelfde oppervlakte. De oppervlakte van een cirkel met straal 1 is gelijk aan π. Deze vraag komt dan dus neer op het construeren van een zijde van √π.

Richeson beschrijft de geschiedenis van deze problemen en de invloed die de zoektocht naar oplossingen op de wiskunde heeft gehad. Bij alle vier de constructieproblemen hangt de oplosbaarheid uiteraard af van de vraag wat we precies onder ‘construeren’ verstaan. Als alleen passer en latje (dat wil zeggen: een liniaal zonder schaalverdeling, waarmee je dus niet kunt meten) toegestaan zijn, zoals in de strengste vorm van de Griekse constructieproblemen het geval is, dan zijn deze problemen niet oplosbaar. Iets preciezer: de verdubbeling van de kubus en de kwadratuur van de cirkel zijn niet oplosbaar, driedelen is niet voor alle hoeken mogelijk en niet alle regelmatige veelhoeken vallen te construeren.

Wat is hoe mogelijk?

Hoewel de problemen al heel oud zijn, zijn de uiteindelijke bewijzen voor deze onmogelijkheid pas in de negentiende eeuw bedacht. Dat komt doordat bewijzen dat iets onmogelijk is heel ander wiskundig gereedschap vergt dan een bewijs dat een constructie wel degelijk kan. Eindeloos proberen een constructie te vinden zonder dat het lukt is tenslotte geen bewijs dat het onmogelijk is. Dat kan ook betekenen dat je nog langer of op een andere manier moet zoeken.

Een wiskundige moest nooit méér gereedschap gebruiken dan strikt nodig was.
De Grieken stonden in hun wiskunde overigens niet alleen passer-en-latjeconstructies toe. Menaechmos (ca. 350 v.Chr.) kon al een kubus verdubbelen, maar had daar kegelsneden (een parabool en hyperbool) voor nodig, die niet met passer en latje te construeren zijn. In de loop van de tijd zijn allerlei instrumenten ontwikkeld waarmee een van de vraagstukken kan worden opgelost, bijvoorbeeld kegelsnedenpassers, winkelhaken en latjes waarop één afstand wel afgemeten is.

De Grieken hadden zelf ook al het vermoeden dat hun constructieproblemen met slechts passer en latje onmogelijk waren, maar het was wel hun streven om vraagstukken met zo simpel mogelijk gereedschap aan te pakken. Een wiskundige moest nooit méér gereedschap gebruiken dan strikt nodig was, en dus geen kegelsneden gebruiken als het ook zonder kon.

Uiteraard werden kegelsneden in die tijd nog niet met vergelijkingen en x’en en y’s beschreven. Dat gebeurt pas sinds de zeventiende eeuw, toen René Descartes en ook Pierre de Fermat algebra gingen gebruiken om meetkundige vraagstukken aan te pakken. Descartes liet in zijn beroemde werk La Géométrie (1637) zien dat als een eenheidslengte gegeven is, van twee andere lijnstukken de som, het verschil, het product en het quotiënt met passer en latje geconstrueerd kunnen worden, en ook de vierkantswortel van een gegeven lijnstuk. Op die manier kon hij een meetkundig constructievraagstuk vertalen naar algebra, en daarmee uitrekenen hoe lang het gezochte lijnstuk moest zijn. Als de lengte van dat lijnstuk uitgedrukt werd door een opeenvolging van sommen, verschillen, producten, quotiënten en wortels van bekende lengtes, kon hij uit die uitdrukking de constructie afleiden. Bij hem was het meetkundige vraagstuk oplossen dus nog wel het doel, en de algebra een nieuw middel. Hiermee maakte hij het mogelijk om na te denken over wat er al dan niet construeerbaar is.


Lees ook ‘Alain Badiou en het avontuur van de uitzondering’ van Samuel Vriezen. Een groot filosofisch systeem voltooien, wie doet dat tegenwoordig nog? Nou, Alain Badiou. Vriezen beschouwt hoe de wiskundige verzamelingenleer gecombineerd kan worden met eeuwenoude wijsgerige problemen en militante emancipatoire politiek.


Het was uiteindelijk Pierre Wantzel die in 1837 aantoonde dat de verdubbeling van de kubus niet met passer en latje mogelijk was. Hij liet ook zien welke regelmatige veelhoeken wel en niet geconstrueerd kunnen worden, en dat een hoek van 60° niet in drieën verdeeld kan worden, omdat cos(20°) geen construeerbaar getal is. Vreemd genoeg heeft Wantzel lange tijd nauwelijks aandacht gekregen. Gedurende anderhalve eeuw was er onduidelijkheid over wie deze stellingen nou eigenlijk bewezen had en of ze wel bewezen waren. Ferdinand Lindemann toonde uiteindelijk in 1882 de onmogelijkheid van de cirkelkwadratuur aan.

Richeson geeft van lang niet alle besproken stellingen bewijzen, maar hij geeft steeds wel een goede indruk van de wiskunde waarop zo’n bewijs gebouwd is. Hij kiest daarnaast ook precies de goede zijpaden om voldoende context te geven en de conceptuele stappen zichtbaar te maken. Daardoor geeft dit boek een mooi inkijkje in de geschiedenis van de wiskunde en zelfs tot op zekere hoogte een goed overzicht daarvan.

Kennis en patronen

Rens Bod, Een wereld vol patronen: de geschiedenis van kennis (Prometheus 2019), 480 blz.
Rens Bod, Een wereld vol patronen: de geschiedenis van kennis (Prometheus 2019), 480 blz.

Voor zover het over de westerse cultuur gaat dan, dat moet ik er meteen bij zeggen, en voor zover de wiskunde zichzelf beïnvloed heeft. De Grieken waren tenslotte niet de eerste wiskundigen op de wereld en de westerse cultuur is zeker niet de enige die belangrijk was voor de wiskunde. En hoe goed ik Richesons boek ook vind, het behandelt bekende thema’s. De problemen zijn beroemd, en de wiskunde die nodig is om ze op te lossen zit voor een groot deel in een academische wiskundeopleiding.

Dat geldt niet voor Een wereld vol patronen, dat juist geen bekend terrein bestrijkt. Of beter gezegd: het bestrijkt terrein waarvan iedereen die in wetenschap geïnteresseerd is wel een stukje kent, maar niet het geheel. Rens Bod, professor in de computationele en digitale geesteswetenschappen aan de UvA, schrijft in zijn inleiding: ‘Het idee dat de wereld kan worden begrepen aan de hand van patronen en onderliggende principes is een van de belangrijkste inzichten van de mens en misschien wel zijn of haar meest succesvolle overlevingsstrategie.’ In zijn boek werkt hij dit idee uit door te onderzoeken hoe patronen en principes zich over de hele wereld hebben ontwikkeld vanaf de steentijd. Het doel is dus een historisch langetermijnoverzicht te geven, geen filosofisch werk over de vraag wat kennis is. Daarnaast wil hij ook het Westen minder centraal plaatsen. Bovendien heeft hij het niet alleen over de natuurwetenschappen, maar ook over onder andere de rechtswetenschap, geneeskunde, filologie, musicologie en wiskunde.

Het is onvermijdelijk dat een boek dat zo indrukwekkend veel tijd en onderwerpen omvat in de details minder uitgebreid en precies is dan bijvoorbeeld het boek van Richeson. Daartegenover staat dat verbanden tussen wetenschappen vallen te leggen die moeilijk zijn te zien als je de geschiedenis van één discipline bekijkt.

Een wereld vol patronen bestrijkt juist geen bekend terrein. Of beter gezegd: het bestrijkt terrein waarvan iedereen die in wetenschap geïnteresseerd is wel een stukje kent, maar niet het geheel.
Maar wat verstaat Bod in dit kader onder patronen en principes? Een patroon is een waargenomen regelmatigheid die een element van herhaling in zich heeft, maar niet per se onveranderlijk is. Er kunnen uitzonderingen zijn en variatie. Patronen kunnen voorspellen: denk bijvoorbeeld aan het patroon van de opkomst, de bloei en het verval van staten dat al in de oudheid benoemd is door de Grieken, maar ook door Chinese, Arabische en Italiaanse historici. Ook patronen in de natuur hebben een voorspellende kracht, bijvoorbeeld patronen in de opkomst en ondergang van zon, maan en planeten. Patronen zijn dus waarneembaar, ze hebben met empirische kennis te maken. Principes zijn weer generalisaties over patronen. Ze gaan over de onderliggende relaties tussen dingen, en zijn niet zintuiglijk waarneembaar. Mensen proberen patronen te verklaren en begrijpen door diepere principes. Verschillende rechtsregels kunnen bijvoorbeeld soms worden teruggebracht tot één onderliggend principe, zoals het vergeldingsprincipe (oog om oog), dat in verschillende rechtssystemen voorkomt. Principes kunnen patronen dus beschrijven, verklaren of zelfs voorspellen.

Het boek is chronologisch opgedeeld in tijdvakken, en binnen zo’n tijdvak worden de verschillende disciplines besproken. Juist alle voorbeelden uit andere disciplines en culturen dan ik gewend ben vind ik fascinerend om te lezen. Ook de grote lijnen die Bod trekt in de geschiedenis van de natuurwetenschappen maken het boek interessant.

In de zoektocht naar patronen en principes duidt Bod een bepaalde ontwikkeling, die hij als volgt samenvat: na een bewustwording van patronen in de oude steentijd (ca. 40.000 jaar geleden), volgt een zoektocht naar patronen in de natuur en cultuur vanaf de uitvinding van het schrift (ca. 3000 v.Chr.). Vervolgens leidt een bewustwording van de onderliggende principes, in de klassieke oudheid (vanaf ca. 600 v.Chr.) tot een zoektocht naar de relaties tussen patronen en principes, vooral in de hellenistische beschaving (ca. 300 v.Chr.). Daarna begint de poging het aantal principes te verminderen, vooral in de islamitische beschaving: hoe minder principes, hoe beter (vanaf ca. 500 na Chr.). Vanaf de vijftiende en zestiende eeuw ontdekt men patronen in de relatie tussen patronen en principes, in allerlei delen van de wereld, wat leidt tot een bewustwording van de empirische cyclus. Bod wil deze opeenvolging overigens niet zien als ontwikkelingsstadia van de mensheid. Zo anders zijn we als soort niet geworden, als we het biologisch bekijken. Maar het is wel een volgorde van welke concepten dominant waren in verschillende tijdvakken, met een logische volgorde: principes kunnen bijvoorbeeld pas ontstaan op het moment dat patronen zijn bestudeerd.

Van het geboortejaar van Christus tot ellipsbanen

Deze globale indeling is interessant, en ook de voorbeelden van patronen en principes die Bod beschrijft zijn de moeite waard. Neem bijvoorbeeld de filologie, de wetenschap van de reconstructie van oude teksten. Die wetenschap kwam op gang toen de beroemde bibliotheek van Alexandrië werd gesticht, waar men na het verzamelen van grote hoeveelheden manuscripten ontdekte dat onder de vele kopieën die opdoken van dezelfde tekst er geen twee hetzelfde waren. Hoe kun je uit al die kopieën de oorspronkelijke tekst afleiden?

De wiskunde die Richeson en Bod beschrijven is al best oud: hun beschrijving gaat niet verder dan de negentiende eeuw.
In de vijftiende eeuw werd de filologie een belangrijke wetenschap onder de humanisten, die zoveel mogelijk klassieke teksten verzamelden en bestudeerden. Een doorbraak kwam met het werk van Angelo Poliziano (1454-1494). Als een groep bronnen op zich consistent is, maar die bronnen allemaal afhankelijk zijn van één bron, kunnen zij niet als bewijs dienen voor de authenticiteit van die ene bron. Van die bronnen moet dus een genealogie worden opgesteld. Dit doet Bod denken aan de isnadmethode van de islamitische beschaving, waarin ook een genealogische overleveringsketen werd opgesteld om bij de eerste bron uit te komen. Die aanpak ging echter over mondelinge overleveringen. Bod heeft geen bewijs dat Poliziano door de Arabische aanpak beïnvloed is, maar het zou kunnen.

De filologie zelf had volgens Bod invloed op het ontstaan van de empirische cyclus in de natuurwetenschap. In de filologie bestond zo’n cyclus: Paliziano’s theorie deed voorspellingen, en de vondst van andere manuscripten kon zijn aanpak ondersteunen of weerleggen. Dat gebeurde toen Desiderius Erasmus (1466-1536) ontdekte dat een meer recent maar onvertaald Griekstalig manuscript van het Nieuwe Testament een betrouwbaardere bron was dan een ouder, maar vertaald manuscript in het Latijn.

De wiskunde is tegenwoordig zo’n gigantisch vakgebied dat het zelfs de meeste wiskundigen niet lukt de hele wiskunde met enige diepgang te overzien.
De beroemde astronoom Johannes Kepler (1571-1630) was humanistisch opgeleid. Hij wordt niet zo vaak als filoloog genoemd, maar dat was hij wel. Hij toonde bijvoorbeeld aan dat Christus in het jaar 4 v.Chr. geboren moet zijn. Het is volgens Bod aannemelijk dat hij de empirische cyclus van de filologie naar de astronomie heeft meegenomen. Kepler probeerde de afstanden tussen de planeten te verklaren. Hij kwam in contact met Tycho Brahe (1546-1601), die zijn verzamelde planeetwaarnemingen met hem deelde. Kepler ontdekte dat het model waarmee hij werkte niet nauwkeurig genoeg met Brahes waarnemingen overeenstemde, en paste zijn theorie aan. Zo bereikte hij empirisch het resultaat dat de baan van Mars ellipsvormig is.

Er komen nog veel meer interessante voorbeelden aan bod. De Babylonische rechtswetenschap met de overgang van descriptieve naar prescriptieve regels, geschiedschrijving in allerlei delen van de wereld, de geneeskunde, muziekwetenschap, taalkunde, en ga zo maar door. Opvallend vond ik het hoofdstuk over inentingen tegen pokken in de moderne tijd. In China in de zestiende en zeventiende eeuw werd hier voor het eerst mee geëxperimenteerd. In de eerste helft van de achttiende eeuw werd inenten ook toegepast in India, Turkije, Ethiopië en West-Afrika, maar in Europa verrassend genoeg juist niet.

Wiskunde van nu

Alex van den Brandhof, Priemwoestijnen: hoogtepunten uit de wiskunde van de 21e eeuw (Prometheus 2018), 256 blz.

De wiskunde die Richeson en Bod beschrijven is al best oud: hun beschrijving gaat niet verder dan de negentiende eeuw. Aangezien ook de wiskunde die op school en op veel opleidingen behandeld wordt niet veel nieuwer is, hebben veel mensen niet zo’n goed beeld van wat het wiskundig onderzoek van nu inhoudt. Ik geef het vak geschiedenis van de wiskunde aan een tweedegraads lerarenopleiding, en studenten vragen wel eens: we hebben nu gezien hoe de wiskunde in de loop van de tijd veranderd en uitgebreid is, maar komt er nu ook nog wiskunde bij? Op die vraag geeft Priemwoestijnen van wetenschapsjournalist en wiskundedocent Alex van den Brandhof antwoord.

Dat is niet eenvoudig: de wiskunde is tegenwoordig zo’n gigantisch vakgebied dat het zelfs de meeste wiskundigen niet lukt de hele wiskunde met enige diepgang te overzien. Dat is echt een andere situatie dan in de eeuwen die Richeson en Bod beschrijven.

Om tegenwoordig in een deelgebied van de wiskunde onderzoek te kunnen doen, of zelfs maar de vragen te begrijpen, zijn meestal jaren van specialistische studie nodig. Toch is dit boek gericht op lezers zonder veel wiskundige voorkennis. Van den Brandhof beschrijft voor elk jaar van deze eeuw tot en met 2017 een stelling die in dat jaar bewezen is. Ook in Priemwoestijnen is de geschiedenis niet ver weg: juist de problemen die goed uit te leggen zijn aan een breed publiek zijn soms al een tijd geleden geformuleerd.

De onderwerpen die Van den Brandhof uitlicht zijn dus wellicht enigszins atypisch voor het wiskundig onderzoek van nu: het gaat wel over ingewikkelde wiskunde, maar de kern is ook zonder die specialistische kennis te begrijpen. Niet in alle details natuurlijk, en soms kiest hij ervoor om een probleem uit te leggen door een vergelijkbaar maar wat beter voor te stellen probleem te beschrijven.

Priemwoestijnen laat het soort problemen zien waar de wiskundigen van nu graag over nadenken, en hoe abstract en diep de wiskunde kan zijn
Veel van de stellingen in het boek gaan over priemgetallen en hoe die verdeeld zijn over de gehele getallen. Ook zijn er stellingen die met spelletjes te maken hebben, bekende spellen, maar dan in meer dimensies: boter-kaas-en-eieren en Set. Het eerste hoofdstuk gaat over chaotische systemen, waarvan weermodellen voorbeelden zijn. Een ander hoofdstuk gaat over het vermoeden van Catalan, in 1844 geformuleerd en in 2002 bewezen: de enige twee echte machten die precies 1 van elkaar verschillen zijn 8 en 9. Een echte macht is een getal van de vorm abwaarbij a en b beide groter dan 1 zijn, zoals 8 = 23 en 9 = 32. Een bewering die eenvoudig te formuleren is, maar het bewijs kwam toch pas deze eeuw.

Het Poincaré-vermoeden, in 2003 bewezen door Grigori Perelman, spreekt misschien nog wel het meest tot de verbeelding, hoewel dat nou juist over objecten gaat die je je eigenlijk niet meer kunt voorstellen. Het draait om de zogeheten 3-sfeer, de driedimensionale rand van een vierdimensionale bol. Hoewel je die niet meer voor je kunt zien, valt er toch wiskundig over te redeneren. Het vermoeden gaat over hoe je van een driedimensionaal oppervlak in de vierde dimensie kunt concluderen dat het eigenlijk een 3-sfeer is. Zeer ingewikkelde wiskunde, het duizelt je soms.

Wat mij opvalt in de besproken stellingen is dat ondanks die toegenomen specialisatie de belangrijke stappen in zo’n proces soms juist gezet worden als twee deelgebieden van de wiskunde weer bij elkaar komen. Gereedschap of resultaten uit het ene deelgebied blijken op wonderlijke wijze te maken te hebben met een ander gebied. Het duidelijkst wordt dat in het hoofdstuk over het Langlands-programma. Van den Brandhof vergelijkt hier de inzichten van Robert Langlands met die van Descartes toen hij de algebra ging gebruiken om meetkundige problemen op te lossen (een ontwikkeling die zo belangrijk was dat hij ook in de boeken van Richeson en Bod beschreven wordt). Op soortgelijke manier koppelde Langlands gebieden van de wiskunde die ogenschijnlijk juist heel ver van elkaar af stonden aan elkaar.

Ook interessant is hoe belangrijk samenwerken in de wiskunde kan zijn. Niet altijd: Grigori Perelman, die het Poincaré-vermoeden bewees, werkte daar juist in alle stilte aan. Hij heeft zich inmiddels afgekeerd van de academische wereld en weigerde de grote prijzen die hem ten deel vielen. Maar in een aantal verhalen zien we hoe productief het is om met elkaar van gedachten te wisselen. Een voorbeeld is het zogeheten Polymath-project, opgestart door wiskundige Timothy Gowers. Hij wilde proberen met een online community wiskundige stellingen te bewijzen. Hij opende een blog waarop iedereen kon meedoen en reageren. Al snel reageerde ook de beroemde wiskundige Terence Tao, en het project werd een succes: het ging van start op 1 februari 2009, op 10 maart was het eerste probleem gekraakt.

Priemwoestijnen laat het soort problemen zien waar de wiskundigen van nu graag over nadenken, en hoe abstract en diep de wiskunde kan zijn. Door de diversiteit in de gekozen stellingen toont Van den Brandhof ook hoe breed en divers de wiskunde geworden is. Er zijn zoveel onderwerpen, vragen, aanpakken en concepten bijgekomen in de twintigste en eenentwintigste eeuw. En zoals we ook al zagen in Tales of Impossibility: een onopgelost probleem kan een sterke drijvende kracht zijn voor nieuwe ideeën.